Система остаточных классов 1

Ни для кого не секрет, что математика – наука абстрактная и в своем "чистом" виде никакого отношения к реальному миру не имеет. Многие, конечно попробуют эту мысль оспорить. Однако заставляет задуматься хотя бы тот факт, что разные народы в различные периоды времени даже считали по-разному. Стоит только вспомнить крайне неэффективную систему счисления древних римлян. Греки вместо чисел использовали буквы собственного алфавита, как и славяне. В Вавилоне появилась шестидесятеричная система счисления, которая нашла отражение в подсчете времени (60 минут в часе, 60 секунд в минуте) и углов. И египтяне конечно же отличились, первыми придумав десятичную, хотя и непозиционную, систему счисления. Иными словами – кто как придумал, тот так и считал.

Настоящую революцию произвела придуманная в Индии не позднее V века позиционная десятичная система счисления. Основным достижением индийцев стало использование в качестве одной из цифр нуля. Именно этот факт делает данную систему счисления столь удобной – теперь можно записать любое число, используя всего 10 различных символов и не изобретая новый для каждого нового разряда. Величина числа зависит от позиции в нем цифр и их количества.

Изобретение современной позиционной системы счисления (арабских цифр) дало серьезный импульс развитию математики. Была фактически решена проблема арифметических операций – их теперь можно было выполнять интуитивно понятным, быстрым и эффективным способом, который не меняется уже более пятнадцати веков. Дальнейшее развитие идеи позиционности сделало принципиально возможным создание современной вычислительной техники – она функционирует на основе двоичной системы счисления.

Проблема

Однако, как показал опыт последних десятилетий, в некоторых случаях именно позиционный подход к записи чисел вызывает определенные неудобства. Основная проблема заключена в обработке чисел – раз от позиции цифры зависит величина числа, то в процессе расчетов из-за переносов они должны обрабатываться последовательно, от младшего к старшему. Очевидный вывод, знакомо с детства: сначала складываем единицы, затем десятки, сотни, тысячи...  На первый взгляд ничего страшного в такой привычной картине нет. Но стоит обратить внимание на возможности вычислительной техники.

Современные вычислительные системы, несмотря на всю свою мощь, все-таки ограничены. И дело даже не в том, что они не могут, например, сделать точный прогноз погоды или расшифровать ДНК. Ограниченность проявляется в самой незначительной, казалось бы, части – диапазоне работы с числами. Просто компьютер способен работать лишь с ограниченным отрезком чисел, который определяется разрядной сеткой процессора. Многие устройства "понимают" числа размером 32 бита (двоичных разряда), другие – 64. Крайне мало 128-ми битных вычислительных элементов, все остальное – вообще единичные случаи. Малая разрядность чисел приводит к невысокой точности вычислений, а многие алгоритмы и вовсе требуют запредельной разрядности. Так например схема шифрования RSA в современном варианте считается достаточно безопасной при длине ключа 2048 бит, что вызывает определенные затруднения при реализации.

Первую проблему, возникающая перед разработчиком в данной ситуации, можно сформулировать следующим образом: как производить вычисления с числами большой разрядности, если архитектура вычислительных систем их просто не поддерживает? Но при ближайшем рассмотрении данный вопрос даже не является проблемой. Ответ на него скрыт в самой идее позиционных систем счисления.

Назовем некоторое число b основанием системы счисления. Тогда число X, представленное в системе счисления с основанием b набором из n цифр \{x_{0},x_{1},...,x_{n}\}, определяется следующим образом:

X=\sum_{i=0}^{n}x_{i}b^{i}.

Например, в десятичной системе счисления число 5318 есть ни что иное, как 5\cdot10^{3}+3\cdot10^{2}+1\cdot10^{1}+8\cdot10^{0}. Таким же образом все работает в двоичной, троичной, восьмеричной системе и так далее. А теперь представим, что основанием системы счисления является число 2^{32}. Все числа от 0 до 2^{32}-1=4294967295 будут условными цифрами данной системы. Причем данный диапазон полностью покрывает все 32-х битные числа. То есть теперь любое число можно представить в виде набора тридцатидвухбитных цифр. Такой подход применяется для организации вычислений с большими числами на стандартной аппаратуре. При этом мы все равно не избавляемся от сложностей: нельзя забывать о необходимости выполнять переносы между разрядами нашего большого числа, возникающие при выполнении операций сложение и умножение, что делает вычисления достаточно медленными. Некоторый выход из ситуации предлагает модулярная арифметика.

Система остаточных классов

Ранее мы пришли к выводу, что позиционность не всегда хорошо. Рассмотрим теперь непозиционный подход к системам счисления. Под непозиционностью понимается отсутствие очевидной связи между разрядами или, иными словами, отсутствие переносов. Одной из самых используемых непозиционных систем счисления является Система остаточных классов (СОК, Residue Number System – RNS). СОК основывается на теории сравнений и была предложена советским математиком Израилем Яковлевичем Акушским в 50-е годы двадцатого века. Теорию вычислений в СОК иногда называют модулярной арифметикой, основной теоремой которой является Китайская теорема об остатках (КТО, Chinese remainder theorem – CRT), одна из формулировок которой приведена ниже [1].

Теорема. Пусть p_1,p_2,...,p_n есть некоторые натуральные взаимнопростые числа и P=p_1\cdot{p_2}\cdot{...}\cdot{p_n}. Тогда любое число X, такое что 0\leqslant{X}\leqslant{P} может быть однозначно представлено в виде последовательности (x_1,x_2,...,x_n), где x_i=X\mod{p_i}.

Последовательность (x_1,x_2,...,x_n) и есть представление числа X в системе остаточных классов. Каждое из чисел x_i называется разрядом числа в СОК. Отметим, что числа x_i являются остатками от деления на числа p_i, откуда 0\leqslant{x_i}<p_i. Именно этот факт отражает основные свойства СОК – снижение разрядности. Все дело в том, что для вычисления суммы или произведения двух чисел, представленных в СОК, достаточно сложить и умножить соответственные остатки-разряды:

A=(a_1,a_2,...,a_n),\;B=(b_1,b_2,...,b_n)

A+B\mod\,P= \\ =(a_1+b_1\mod\,p_1,a_2+b_2\mod\,p_2,...,{a_n+b_n\mod\,p_n)}

A\cdot{B}\mod\,P= \\ =(a_1\cdot{b_1}\mod\,p_1,a_2\cdot{b_2}\mod\,p_2,...,{a_n\cdot{b_n}\mod\,p_n)}

Преимущества такого подхода очевидны: мы выполняем операции одновременно по различным основаниям так как они не зависят друг от друга. Иными словами, помимо снижения разрядности мы добавляем параллелизм, который принципиально невозможен в позиционной системе. Это идеально ложится под современные вычислительные средства: параллельные вычисления развиваются в последнее время максимально возможными темпами, проявляясь не только в архитектуре компьютеров, но и при разработке встраиваемых решений, основанных, например, на ПЛИС архитектуры FPGA.

Проведенные исследования показывают, что во многих задачах использование СОК совместно с параллельными вычислениями приводит к значительному увеличению производительности. Например, операция возведения в степень в СОК для больших чисел может быть реализована крайне эффективно, что приведет к сверхлинейному ускорению [2], что отражено в графике на рисунке 1.Ускорение операции возведения в степень при использовании СОК

Рис. 1. Ускорение операции возведения в степень при использовании СОК.

Основной проблемой модулярной арифметики и СОК в частности является существование так называемых немодульных операций. К такому классу операций относятся, например, сравнение и деление чисел. Данные операции имеют позиционную природу и не могут быть выполнены без вычисления какой-либо характеристики числа, определяющей его позицию в числовом ряде, что приводит к восстановлению позиционного представления числа в том или ином роде. Работы многих исследователей направлены на максимальную оптимизацию немодульных операций в СОК. Однако наиболее эффективными остаются алгоритмы, сводящие использование таких операций к минимуму. Хорошей областью для применения СОК таким образом является криптография, сводящаяся к умножению, сложению и возведению в степень [3].

Пример

Рассмотрим работу в СОК с основаниями \{2,3,5,7\}. Динамическим диапазоном для данной системы будет число P=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210, следовательно, в соответствии с КТО все числа, представимые в ней, не должны превышать этого числа. Переведем числа 63 и 79 в нашу СОК, для этого возьмем остатки от деления данных чисел по каждому из модулей и составим из них кортежи:

63=(1,0,3,0),\;79=(1,1,4,2)

Найдем сумму данных чисел:

63+79=\\=(1+1\mod\,2,0+1\mod\,3,3+4\mod\,5,0+2\mod\,7)=\\=(0,1,2,2).

Для проверки результата найдем позиционное значение суммы и так же переведем его в СОК.

63+79=142=(0,1,2,2).

Умножим полученное число на 2 в СОК. Здесь 2=(0,2,2,2)

142 \cdot 2 = (0,1,2,2) \cdot (0,2,2,2) = (0,2,4,4),

что соответствует реальности, так как 142 \cdot 2=284\mod\,210=74=(0,2,4,4).

Вывод

Несмотря на все свои преимущества, СОК, как было отмечено ранее, не может быть панацеей от всех бед в длинной арифметике, однако конкретные проблемно-ориентированные задачи в ней реализуются крайне эффективно. Наибольший положительный эффект СОК уже сыграла в следующих направлениях, помимо уже описанного:

  • СОК позволяет упростить и уменьшить архитектуру вычислительных электронных устройств, за счет чего повышается не только скорость, но и энергетическая эффективность продуктов.
  • СОК часто используется как средство для синтеза устройств высокой надежности, ее "параллельная" природа позволяет за счет введения избыточных оснований строить высокоэффективные помехоустойчивые коды.
  • Криптографические приложения не ограничиваются одним лишь ускорением работы с длинными числами; СОК является хорошей базой для построения схем разделения секрета, обладающих выгодными относительно аналогов свойствами.
  • В системах цифровой обработки сигналов (ЦОС, DSP) СОК показала себя как выгодный инструмент повышения эффективности цифровых фильтров, о чем свидетельствует огромное количество работа в данной области.
  • Некоторые приложения нашла СОК в системах связи, примером чему является оптимизация технологии CDMA за счет внедрения модулярных преобразований.

Все преимущества, возникающие при применении СОК, получены благодаря тому, что мы изменили свой взгляд на системы счисления. Иногда нетривиальный взгляд на математические объекты может дать перспективные результаты.

Литература

  1. Червяков Н. И., Сахнюк П. А., Шапошников А. В., Макоха А. Н. Нейрокомпьютеры в остаточных классах. – М.: Радиотехника, 2003. – 272 с.
  2. Дерябин М.А., Зайцев А.А. Использование модулярной арифметики для ускорения выполнения операций с числами большой разрядности. // Вестник УГАТУ – Уфа: Издательство УГАТУ, 2013. Т. 17, № 5 (58). – С. 245–251.
  3. Червяков Н. И., Евдокимов А. А., Галушкин А. И., Лавриненко И. Н., Лавриненко А. В. Применение искусственных нейронных сетей и системы остаточных классов в криптографии. – М.: «Физматлит», 2012. – 280 с.

One comment on “Система остаточных классов

  1. Pingback: Перевод чисел между системами счисления ← Максим Дерябин

  2. Reply AndrewSleve Jul 25,2019 03:23 PM

    You actually expressed that wonderfully.

    viagra prescription on line order viagra softtabs
    buy viagra online
    cheap viagra online prescription - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  3. Reply AndrewSleve Jul 25,2019 04:11 PM

    Wow tons of wonderful information.

    viagra cialis levitra trial offers buy viagra in amsterdam
    viagra online
    does alka seltzer enhance viagra - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  4. Reply AndrewSleve Jul 25,2019 04:59 PM

    Thank you! Quite a lot of tips!

    patent expiration on viagra 2004 viagra nascar car
    viagra generic
    viagra song - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  5. Reply AndrewSleve Jul 25,2019 05:47 PM

    This is nicely said! !

    natural viagra for women viagra penile skin problems
    viagra 100mg
    viagra vs cialis real life comparisons - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  6. Reply AndrewSleve Jul 25,2019 06:36 PM

    Thank you! I enjoy it!

    snl christopher walken viagra buy viagra prescription america
    buy viagra online
    compare or viagra - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  7. Reply AndrewSleve Jul 25,2019 08:16 PM

    Thanks a lot. Quite a lot of postings!

    source viagra prescription prescription prescription prescription viagra
    buy viagra
    viagra men - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  8. Reply AndrewSleve Jul 25,2019 09:06 PM

    Regards, I enjoy it.

    viagra kamagra viagra levitra and cialis
    generic viagra 100mg
    pharmacy canada viagra - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  9. Reply AndrewSleve Jul 25,2019 09:56 PM

    Really a lot of terrific material!

    technical information about viagra sildenafil citrate gals getting dicked viagra photo gallery
    viagra generic
    chewable viagra 100mg - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  10. Reply AndrewSleve Jul 25,2019 10:46 PM

    Awesome write ups, Thanks a lot!

    expextations of viagra find search viagra edinburgh pages online
    buy viagra online
    viagra website official - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  11. Reply AndrewSleve Jul 25,2019 11:37 PM

    Nicely put, Kudos!

    viagra and uroxatral viagra cialis levitra trial offers
    buy viagra
    viagra doseage - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  12. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 12:28 AM

    Cheers. Awesome information.

    does insurance pay for viagra viagra on medicaid
    viagra without a doctor prescription
    viagra and red eyes - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  13. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 01:19 AM

    You actually stated this wonderfully!

    cialis viagra cocktail legitimate suppliers of viagra australia
    viagra for women
    generic nbsp nbsp nbsp viagra - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  14. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 02:08 AM

    Kudos, Helpful information!

    viagra alternative levitra viagra free trial pack
    generic viagra 100mg
    viagra equivilant - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  15. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 02:58 AM

    Wonderful data. Many thanks.

    viagra substitutes over the counter buy viagra online
    viagra 100mg
    viagra strength - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  16. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 03:49 AM

    Nicely put, Thanks!

    lloyds pharmacy viagra paroxetine and viagra
    generic viagra 100mg
    viagra uk delivery - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  17. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 04:39 AM

    Kudos! I value it.

    rush limbaugh viagra thailand viagra cealis differences
    viagra for women
    altro che viagra - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  18. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 05:29 AM

    Nicely put, Thanks a lot.

    viagra best piece sample viagra packages
    viagra 100mg
    viagra cialas - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  19. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 06:19 AM

    Thanks, A lot of knowledge.

    what works in synergy with viagra long term efffects of viagra
    generic viagra online
    typical viagra results - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  20. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 07:11 AM

    Great stuff, Thanks.

    viagra rht viagra levitra safe sites
    viagra without a doctors prescription
    viagra and hemmroids - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  21. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 08:01 AM

    Very well spoken truly. !

    provigro vs viagra effects of viagra
    buy viagra
    viagra for doggies - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  22. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 08:51 AM

    Thanks! Loads of posts.

    generic stats viagra viagra enhancements
    viagra online
    viagra on the internet - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  23. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 09:41 AM

    Kudos! I enjoy it.

    oysters spiked viagra viagra balloons
    buy viagra online
    cialis with 4 free viagra - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  24. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 10:31 AM

    You actually suggested it perfectly!

    testimonials viagra cialis levitra best price viagra australia
    viagra generic
    top 10 genuine viagra sites - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  25. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 11:21 AM

    Terrific postings. Cheers!

    make your own viagra viagra questions
    viagra 100mg
    does phizer make a generic viagra - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  26. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 12:12 PM

    Awesome advice. Cheers.

    required medical for viagra viagra spain
    viagra for sale uk
    compra viagra - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  27. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 01:03 PM

    You actually suggested this very well!

    viagra soft tab generic african american viagra
    viagra without a doctor prescription
    viagra babies - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  28. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 01:54 PM

    Thanks! Ample tips!

    viagra 63114 viagra useage
    viagra for women
    prices viagra generic - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  29. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 02:47 PM

    With thanks, I enjoy it.

    my viagra did not work viagra makes my jaw hurt
    viagra online
    natural herbal substitute for viagra - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  30. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 03:39 PM

    Wow loads of terrific facts!

    viagra without prescription uk herbal substitute for viagra
    viagra online
    viagra bad experience - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  31. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 04:32 PM

    Nicely put. Thanks.

    seniors viagra std online viagra in 24h
    buy viagra online
    viagra levitra strength - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  32. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 05:23 PM

    Thanks. A lot of facts!

    benefits of mixing coke and viagra viagra nitroglicerine
    buy viagra online
    russia status of viagra - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  33. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 06:15 PM

    Terrific content, Thanks a lot.

    viagra generic no prescription risk of cialis and viagra together
    viagra without a doctors prescription
    compare cialis levitra viagra - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  34. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 07:08 PM

    Regards, Lots of content.

    off label use viagra viagra and teenren
    viagra 100mg
    generic viagra sildenafil - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  35. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 08:01 PM

    Thanks a lot! I like it.

    priscilla presley and viva viagra pharmaceutical viagra cialis levitra pens
    generic viagra
    viagra counter act with lisinopril - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  36. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 08:54 PM

    You made your position pretty effectively!.

    what if viagra lasts too long which works betters cialis or viagra
    viagra pills
    free samples viagra - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  37. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 09:45 PM

    Very good write ups, Appreciate it.

    levitra viagra v cialis pen viagra
    viagra online
    viagra and celias - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  38. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 10:38 PM

    You have made your point quite well..

    grneric viagra los angeles over the counter viagra
    viagra online
    free mail viagra - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  39. Reply AndrewSleve Jul 26,2019 11:30 PM

    Thanks, Plenty of forum posts.

    viagra in india by mail order rx viagra lexington
    generic viagra
    cheap generic viagra from india - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  40. Reply AndrewSleve Jul 27,2019 12:22 AM

    Terrific tips. Appreciate it!

    buy pfizer viagra online how many viagra should i take
    generic viagra 100mg
    viagra for young men - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  41. Reply AndrewSleve Jul 27,2019 01:16 AM

    Whoa quite a lot of very good tips!

    does viagra last longer coupons for cialis viagra levitra
    viagra pills
    viagra marathon sex session - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  42. Reply AndrewSleve Jul 27,2019 02:09 AM

    Kudos, An abundance of info!

    anti-depressant sexual side effects viagra viagra steroides
    viagra online
    valium viagra interaction - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  43. Reply AndrewSleve Jul 27,2019 03:03 AM

    Good write ups. Kudos!

    why is viagra legal in mexico discount viagra discount viagra url
    buy viagra online
    how do i purchase viagra - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  44. Reply AndrewSleve Jul 27,2019 03:56 AM

    Many thanks, I appreciate this!

    las vegas about kamagra viagra befor after viagra
    buy viagra
    still hard after i cum viagra - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  45. Reply AndrewSleve Jul 27,2019 04:49 AM

    Reliable information. Regards!

    what pills work like viagra does viagra help with stamina
    viagra online
    viagra phosphodiesterase - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  46. Reply AndrewSleve Jul 27,2019 05:42 AM

    With thanks! Lots of information.

    viagra pregnancy i need viagra tomorrow
    viagra pills
    viagra us compare prices - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  47. Reply AndrewSleve Jul 27,2019 06:35 AM

    Many thanks. Excellent stuff.

    viagra halicyte viagra erectile disfunction penis
    viagra for sale uk
    athletes and viagra - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  48. Reply AndrewSleve Jul 27,2019 07:28 AM

    Seriously quite a lot of superb knowledge.

    viagra over the ocunter cheapest genuine viagra tablets
    viagra pills
    viagra plus high blood pressure medicine - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  49. Reply AndrewSleve Jul 27,2019 08:20 AM

    Helpful facts. Thank you!

    viagra 2011 cost winnipeg walmart price for viagra 2010
    generic viagra online
    will viagra make my erection hard - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  50. Reply AndrewSleve Jul 27,2019 09:12 AM

    Truly lots of superb data.

    moo moo edinburgh viagra tid news levetra vs viagra
    generic viagra 100mg
    viagra medicare - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  51. Reply AndrewSleve Jul 27,2019 10:03 AM

    Nicely put, With thanks!

    using viagra a second time viagra in china
    buy generic viagra
    milwaukee teachers viagra - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  52. Reply AndrewSleve Jul 27,2019 10:54 AM

    Many thanks, Loads of write ups.

    viagra generic cheap fast viagra generic comments
    generic viagra 100mg
    cleaning viagra - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  53. Reply AndrewSleve Jul 29,2019 12:02 AM

    You suggested that fantastically.

    safe dose of viagra viagra company
    viagra pills
    where can i buy viagra - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  54. Reply AndrewSleve Jul 29,2019 12:52 AM

    This is nicely put. .

    canada's viagra number online pharmacy viagra misleading
    generic viagra
    compare cialis and viagra - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  55. Reply AndrewSleve Jul 29,2019 01:41 AM

    Appreciate it, Plenty of knowledge!

    cheapest genuine viagra tablets viagra salute
    viagra pills
    cheap geneirc viagra 50 cents - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  56. Reply AndrewSleve Jul 29,2019 02:30 AM

    You said it nicely.!

    viagra uden recept viagra gel
    viagra pills
    cialis cialis genuinerx net viagra - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  57. Reply AndrewSleve Jul 29,2019 03:19 AM

    Whoa many of fantastic advice!

    cialis viagra cocktail prescription free viagra australia
    cheap viagra
    viagra supplier in the uk - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  58. Reply AndrewSleve Jul 29,2019 04:08 AM

    You've made your point.

    5 uses for viagra non generic viagra
    viagra for women
    discussion of generic viagra - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  59. Reply AndrewSleve Jul 29,2019 04:59 AM

    Cheers. I like it!

    optional health care viagra thailand town viagra speed deaths
    viagra generic
    viagra subsatute - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  60. Reply AndrewSleve Jul 29,2019 05:49 AM

    Awesome posts. Kudos!

    locked in syndrome and viagra viagra shelflife
    buy generic viagra
    viagra associated with hearing loss - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  61. Reply AndrewSleve Jul 29,2019 06:40 AM

    Truly a good deal of awesome knowledge!

    sildenafil citrate powder vs viagra buy viagra cheap online
    viagra pills
    fedex viagra no prescriptions - https://genericviagrantx.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  62. Reply AndrewSleve Jul 29,2019 07:32 AM

    Wonderful content. Thanks a lot.

    gnc herbal viagra kamagra generic viagra soft 1003
    viagra pills
    viagra cheap northwest - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  63. Reply AndrewSleve Jul 29,2019 08:23 AM

    You have made your point!

    viagra in usa generic viagra in india
    viagra without a doctor prescription
    levitra cialis viagra price - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  64. Reply AndrewSleve Jul 29,2019 09:14 AM

    Many thanks! I appreciate it.

    viagra boosts post cuddle hydrocodone taken with viagra
    viagra 100mg
    viagra warnings - https://genericviagramsl.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  65. Reply AndrewSleve Jul 29,2019 10:05 AM

    Amazing tons of good information.

    viagra for sale online viagra with no prescription
    generic viagra 100mg
    order viagra here - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

  66. Reply AndrewSleve Jul 29,2019 10:56 AM

    Tips very well applied!!

    su viagra how long viagra works
    viagra online
    viagra attorneys - https://genericviagrarcp.com

    DavidBut
    TerenceGlups
    Victormycle

    Your comment is awaiting moderation.

Leave a Reply